Tolstonogov A.A.  

Свойства решений управляемой системы с диффузионным и гистерезисным эффектами

Рассматривается управляемая система, описываемая двумя нелинейными взаимосвязанными между собой уравнениями. Первое уравнение описывает связь между входом и выходом гистерезисного оператора, а второе уравнение является уравнением диффузии.
Ограничением на управление является зависящее от фазовых переменных многозначное отображение, значениями которого являются невыпуклые, замкнутые, ограниченные множества в конечномерном пространстве. Наряду с исходной системой рассматривается система с овыпукленным ограничением на управление и с ограничением, значениями которого являются крайние (экстремальные) точки овыпукленного ограничения. Изучаются вопросы существования решений и топологические свойства множества допустимых пар «траектория-управление» с различными ограничениями на управление. В частности, показано, что множество решений управляемой системы с ограничением на управление, значениями которого являются крайние точки овыпукленного ограничения, плотно в множестве решений системы с овыпукленным ограничением на управление. Тем самым получен аналог классического принципа релейности, установленного Л.С. Понтрягиным и его учениками, для управляемой системы, описываемой обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями в конечномерном пространстве. Установлено, что необходимыми и достаточными условиями компактности множества решений системы является выпуклость значений ограничения на управление. Этим объясняется тот факт, что подавляющее большинство задач оптимального управления не имеет решения без предположения выпуклозначности ограничений на управление, поскольку в этом случае не применима теорема Вейерштрасса о достижении минимума полунепрерывной снизу функции на компактном множестве.