\documentclass[10pt]{article}

% Подключение пакетов. Возможно, Вы также используете другие пакеты, например, для построения диаграмм, подключите их.
 \usepackage{amsmath}
 \usepackage{amsfonts,amssymb}
 \usepackage{amsthm}
 \usepackage[active]{srcltx}

% cp866 - это "DOS-кодировка" текста, если Вы работаете c Win-кодировкой, например, в WinEdit, то используйте
\usepackage[cp1251]{inputenc}
 %\usepackage[cp866]{inputenc}
 %\usepackage[russian, english]{babel}
 \usepackage[russian]{babel} % Пакет поддержки русского языка

\usepackage[final]{graphicx}

% Оформление списка литературы
\newenvironment{ltrtr}{
 \vspace{0.5\baselineskip} \noindent {\footnotesize{СПИСОК \
ЛИТЕРАТУРЫ}} \vspace{-0.5\baselineskip}
 \begin{enumerate}
 \partopsep=0pt\topsep=0pt\itemsep=1pt\parsep=0pt\parskip=0pt}{\end{enumerate}}

% Установка размеров страницы
\textwidth          13cm \textheight         18cm \topmargin
 0mm \oddsidemargin       5mm

\begin{document}

% Инициализация счетчиков автоматической нумерации
\setcounter{figure}{0} \setcounter{equation}{0}
 \setcounter{table}{0} \setcounter{footnote}{0}

\begin{center}
 \title{}{\bf УСТОЙЧИВЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ УСЛОВНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ МИНИМИЗАЦИИ}

\author{}{Васин~В.~В.}

{\it Институт математики и механики УрО РАН, Екатеринбург}\\

{\it Уральский федеральный университет, Екатеринбург}

{\it vasin@imm.uran.ru}

\end{center}


Рассматриваются методы решения по аргументу некорректно поставленные задачи условной квадратичной минимизации
$$
\inf||Au-f|^2: \,\,\,u\in Q\},                             \eqno(1)
$$
где $A$ "--- линейный ограниченный оператор, действующий на  паре гильбертовых пространств $U, F$, и задача имеет непустое множество решений $M$.
С одной стороны, (1) можно рассматривать как обобщение постановки о решении обратной задачи с априорной информацией \cite{1}   $Au=f, \,u\in Q$, а с другой, (1) есть классическая задача математического программирования, имеющая самостоятельный интерес и допускающая многочисленные приложения \cite{2}.
Наряду с ограничениями общего вида $u\in Q $ исследуются постановки с допустимым множеством решений в форме систем  (не)равенств, которые часто встречаются в прикладных задачах. Кроме того, исследуются частные постановки задачи (1), среди которых: задача вычисления проекции элемента,
которая является неустойчивой к входным данным,  задача линейного программирования для (не)совместных систем ограничений.

Отличительной чертой предложенных итерационных методов \cite{1} является их устойчивость к ошибкам входных данных для допустимого множества $Q$, заданного в виде систем линейных равенств и неравенств.Заметим, что в известных монографиях \cite{2}, \cite{3}, где изучаются задачи квадратичного и выпуклого программирования, проблема устойчивости методов практически не исследуется. Более того, прямые методы решения задачи (1), изложенные в \cite{2}, в общем случае свойством   устойчивости к погрешностям входных данных не обладают. Исключением является работа \cite{4}, в которой некорректно поставленная задача выпуклого программирования с помощью тихоновской регуляризации и метода штрафных функций сводится к устойчивой задаче выпуклого программирования, для которой необходимо дополнительно строить регуляризирующий алгоритм в  $\mathbb{R}^n$.

\begin{ltrtr}
\bibitem{1}
{\it Васин В.~B.} Основы теории некорректных задач. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2020. 313 с.
\bibitem{2}
{\it Lawson C.~T., Hansen R.~J.} Solving least squares problem. Philadelphia: SIAM, 1995. 337 p.
\bibitem{3}
{\it Поляк Б.Т.~B.} Введение в оптимизацию. М: Наука, 1983. 384 с.
\bibitem{4}
{\it Карманов В.Г.} Математическое программирование. М: Физматлит, 2080. 256 с.
\end{ltrtr}

\end{document}
