Обратная задача по восстановлению граничных условий
А.А. Красновский, В.Е. Миренков
Классические обратные задачи по идентификации граничных усилий  предполагают знание компонент смещений на всей границе исследуемой области, получаемых экспериментально с некоторой погрешностью. К этому классу проблем относятся и некорректные задачи, возникающие в результате априорных предположении на процесс деформирования (абсолютно жесткие тела, скачки смещений, жесткие и мягкие накладки, нарушение конформности в конечном числе точек, идеальное проскальзывание и т.п.). Для получения устойчивого к малым изменения исходных данных приближенного решения используются методы регуляризации (А.Н.Тихонов, А.Н. Колмогоров). Мы понимаем регуляризацию как попытку исправить “сознательно” допущенные неточности. Преодоление некорректности возможно или через регуляризацию или же через получение точных уравнений,  связывающих граничные  значения компонент напряжений и смещений. 
Для решения такой  проблемы получены системы сингулярных интегральных уравнений, связывающие   значения  компонент напряжений и смещений на всей границе. Приводятся  решения для  компонент смещений в квадратурах, определяющие их на контактах, и аналогично  для функций от напряжений, через все остальные граничные условия. Первое приближение для прямой задачи формулируется исходя из качественного поведения компонент смещений на боковых гранях в виде, например, первой основной задачи, решение которых определяет полностью напряженно-деформированное состояние на границе.  Учитывая решение этой прямой задачи и переопределенные  условия на боковых гранях,  вычисляются значения функций напряжений на контактах. Вот теперь,  для пластины формулируем прямые задачи в напряжениях,  решение которых определяет второе приближение на торцах  в смещениях. На этом  первый цикл  приближения заканчивается и начинается второй с этих вычисленных смещений  и  т.д. до достижения  наперед заданной точности.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ ( проект № 09-05-00133 ).

INVERSE PROBLEM TO RESTORE BOUNDARY CONDITIONS

A. A. Krasnovskii and V. E. Mirenkov
Mining Institute, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences

Classical inverse problems on identification of boundary efforts require the knowledge of displacement components along the entire boundary of the study area. The said components are found experimentally with some errors. This class of problems also involves incorrect problems, resulted from a priori assumption relative to deformation processes: perfectly stiff bodies, displacement jumps, rigid and soft covering plates, the conformality disturbance in the finite number of points, perfect slip, and so on. The regulation methods are employed to obtain an approximated solution, durable to small variations in initial data (A.N. Tikhonov, A.N. Kolmogorov). The term “regulation” is treated as an attempt to correct the “consciously”-introduced inaccuracies. Incorrectness can be overcome either through regulation or exact equations for boundary stress and displacement component values. The singular integral equation sets to relate values of the stress and displacement components along the entire boundary are derived to solve the problem under consideration. Solutions are presented for the displacement components in quadratures, identifying them at contacts and through the rest boundary conditions similar to stress functions. The first approximation for the direct problem is formulated on the basis of quantitative behavior of displacement components at lateral faces in the form of, say, the first primal problem, which solution gives the complete estimate of the stress-strain state at the boundary. Taking the direct problem solution and redefined conditions at lateral faces into account, it is possible to calculate values of stress functions at contacts. Just now we state direct problems in terms of stress for the plate. The solution to these problems is determined by the second approximation for plate ends in terms of displacements. Thus, the first cycle of approximation is over at this very stage and the second cycle starts from these calculated displaements, and so on until the preset precision level is gained. 
The study was conducted with financial support from the Russian Foundation for Basic Research, Project No. 09-05-00133.